Verwenden Sie die Option -c für Bash, um ihr eine Befehlszeile als Zeichenfolge zu geben:
sudo docker run -i -t crystal/mono-base bash -c "/usr/local/bin/mono /home/crystal/Downloads/BackgroundProcesser.exe & /bin/bash"
und etwas nach dem Befehl im Hintergrund in den Container einfügen, wird nicht sofort beendet