Nun, ich habe es endlich herausgefunden. Ich wünschte, jemand hätte mir das beantwortet. Es hat mehrere Tage gedauert, um herauszufinden, was falsch war, aber ich schätze, es gibt einfach nicht sehr viele Leute auf Superuser.
Das Problem lag bei den Dateiberechtigungen der benutzerdefinierten Protokolldatei, wie ich ursprünglich vermutet hatte. Ich dachte, ich hätte die Berechtigungen richtig, aber es stellt sich heraus, dass der Besitzer "syslog" und die Gruppe "adm" sein muss. Ich habe dies durch einen Vergleich mit der user.log-Datei festgestellt. Nachdem die Berechtigungen geändert und erneut getestet wurden, funktioniert alles einwandfrei! Ich hoffe, das hilft jemand anderem da draußen schneller, als ich eine Antwort finden konnte.
Hier sind die endgültigen Berechtigungen
-rw-r--r-- 1 syslog adm 0 Aug 3 05:09 anm.log